Главная / Последние новости / Делиость 47

Делиость 47

если (X-29Y) делится на 97, то и N делится на 97.
Пример: N=1261. X=126, Y=1, X-29Y=126-29 · 1=97 — делится на 97, значит и 1261 делится на 97. Действительно, 1261:97=13.

Положим наши находки (признаки делимости) в математическую корзинку.
Вроде бы наша прогулка подошла к концу. Нет и ещё раз нет! Мы подошли к самому интересному! Давайте присядем, передохнём и посмотрим на наши творения.
Внимательно взглянув на таблицу 2 , замечаем: для простых чисел, оканчивающихся на единицу ( P = 11, 31, 41, 61, 71 ), число k одно и то же ( k = 1 ). Что это, случайность? Пока не ясно. Вновь глянем на таблицу 2. А если простые числа кончаются на 3 ( P = 13, 23, 43, 53, 73, 83 ), то число k = -3 . Если же простые числа кончаются на 7 ( P = 17, 37, 47, 67, 97 ), то k = 3 . Наконец, для простых чисел с девяткой в конце ( P = 19, 29, 59, 79, 89 ), число k = -1 .
Пожалуй, это закономерность. Разберёмся в этом подробнее. Продолжим нашу прогулку по математической тропинке.

Для всех P, кончающихся на 1 (P = 11, 31, 41, 61, 71) имеем P = 10n + 1, где n – число десятков.
Если k = 1, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-1(10n+1) )/10 = -n .

И наоборот, если m = -n, то из (2) k = (1-10m)/P = (1-10(-n))/(10n+1) = 1 . Получаем теорему.

ТЕОРЕМА 2 (для P = 11, 31, 41, 61, 71, …):
Пусть P – простое число с цифрой 1 на конце (т.е. P = 10n+1), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — ny) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — ny) делится на P, то x — ny = sP и x = sP + ny. Тогда N = 10x+y = 10( sP+ny)+y = 10sP+10ny+y = 10sP+y(10n+1) = 10sP+yP = P(10s+y) делится на P.
◊

Для всех P, кончающихся на 7 (P = 17, 37, 47, 67, 97) имеем P = 10n + 7, где n – число десятков.
Если k = 3, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-3(10n+7) )/10 = (-20-30n)/10 = -(3n + 2).
И наоборот, если m = -(3n+2), то из (2) k = (1-10m)/P = ( 1+10 (3n+2) )/(10n+7) =
= (30n+21)/(10n+7) = 3(10n+7)/(10n+7) = 3. Получаем теорему.

ТЕОРЕМА 4 (для P = 7, 17, 37, 47, 67, 97, …):
Пусть P – простое число с цифрой 7 на конце (т.е. P = 10n+7), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — (3n+2)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — (3n+2)y) делится на P, то x — (3n+2)y = sP и x = sP + (3n+2)y. Тогда N = 10x+y = = 10( sP+ (3n+2)y)+y = 10sP+30ny+20y+y = 10sP+3y(10n+7) = 10sP+3yP = P(10s+3y) делится на P.
◊

Например, число N = 389 . Зачеркнём последнюю цифру 9 , получим число 38 . Тогда x = 38, y = 9 и 389 = 10 · 38 + 9 .

Предположим (x + my) делится на P. Тогда x + my = sP , отсюда x = sP — my . Выясним, каким должно быть число m, чтобы и N делилось на P. Имеем N = 10x+y = 10(sP-my)+y = 10sP-10my+y = 10sP+y(1-10m). Отсюда ясно, что если

1 — 10m = kP, (2)

ТЕОРЕМА 3 (для P = 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, …):
Пусть P – простое число с цифрой 3 на конце (т.е. P = 10n+3), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x + (3n+1)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x + (3n+1)y) делится на P, то x + (3n+1)y = sP и x = sP — (3n+1)y. Тогда N = 10x+y = 10( sP- (3n+1)y)+y = 10sP-30ny-10y+y = 10sP-3y(10n+3) = 10sP-3yP = P(10s-3y) делится на P.
◊

Есть особая прелесть в прогулках по летнему лесу. Казалось бы, всё с детства знакомо: каждый листочек, каждая травинка, каждая песчинка, комочек чёрной земли, перепревший прошлогодний листик. Но вдруг, идя по лесной тропинке или продираясь через лесные дебри, встречаешь что-то совсем неожиданное. Вон трудяга-муравей тащит сухую иголку неведомо куда. Отфильтрованный листвой солнечный лучик больно кольнул в глаз. Воздух наполнил лёгкие, чувствуешь неведомые ранее ароматы. Прислушаешься, и в лесных шорохах, вздохах и свистах слышны новые аккорды.

Давайте и мы пройдёмся по знакомой математической тропинке – по ряду натуральных чисел, для начала не превышающих 100. Возьмём с собой математическую корзинку, мы будем складывать в неё самое интересное и нужное. На пути встречаются экзотические числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …, 89, 97. Это простые числа. Они загадочны и таинственны сами по себе. Они хранят в себе много неведомого. Мы приоткроем одну из них. Выясним признаки делимости на все (!) двузначные простые числа.

Пусть N – исходное натуральное число,
x – число N без последней цифры (x – натуральное число),
y – последняя цифра числа N (y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
P – простое число;
m, k, n, s – целые числа.

Тогда N = 10x + y. (1)

Делиость 47

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Для14: на 2 и на 7;
Для 15: на 3 и на 5;
Для 18: на 2 и на 9;
Для 21: на 3 и на 7;
Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя — чётной);
Для 24: на 3 и на 8;
Для 26: на 2 и на 13;
Для 28: на 4 и на 7.

Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.

Признак делимости на 12 — это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
Признак делимости на 7 часто пропускается;
Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.

При определении делимости на 27 часто, по аналогии с признаками делимости на меньшие степени тройки, пытаются рассматривать сумму цифр числа. Однако, тут немного сложнее. Можно, конечно, разбить число на блоки по 3 цифры и сложить их все. если результат будет делиться на 27, то и само число будет делиться на 27.

В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необходимость определять, является данное число простым или составным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие математики, которым были известны многие свойства простых чисел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из способов записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит , 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 — под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 — простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно,

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. Поскольку 7 2 = 49, а 49 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; б) 2 2 ∙ 3∙5 3 ?

Делиость 47

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Секреты признаков делимости»

Что же такое признак? Что такое делимость? Какие признаки делимости, кроме известных из школьного курса математики, еще имеются? В чем секрет признаков делимости на любое натуральное число? Как их применять при решении задач? На эти вопросы я попробую ответить в ходе своей работы.

Доказательство. Пусть число Х делится на 6. Тогда из того, что Х6 и 2, следует, что Х2, а из того, что Х6 и 63, следует, что Х3.

Я провела анкетирование ребят 5-7 классов (см. приложение 3). По результатам анкетирования выяснила, что 76% ребят знают основные признаки делимости на 2, 3, 9, 5, 10; 14 ребят забыли эти признаки; дополнительные признаки (на 4, 6, 7.11,12. ) знают только 35% ; 100% ответили, что хотели бы узнать больше о признаках делимости чисел, так как, по их мнению, эти знания им могут пригодиться.

Решение. Так как 315= 5* 7* 9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415.

На одном из занятий математического кружка по теме «Делимость чисел» меня заинтересовала одна старинная задача. Вот ее условие: » В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Почему именно этому числу выпала «такая честь»? Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. После решения этой задачи я захотела узнать больше о признаках делимости и в чем заключается их секрет.

Чтобы определить, делится ли число A на число B, нужно разбить делимое А на части с произвольным количеством n цифр в каждой. В первой слева части цифр может быть меньше или равно n . Если в последней части цифр меньше, чем n , то дописать в конце столько нулей, чтобы было n цифр.

Соответствующие цифры в обоих периодах во всех наших тестах взаимозаменяемы . Из двух периодов без ущерба для нашей задачи можно составить любые комбинации, заменяя числа в паре ( D ’₁ и D ₁ , D ’₂ и D ₂ , D ’ _n и D_n ), не меняя последовательности членов периодов.

Если простое число В имеет чётное P, то нужно разбить делимое А на части по половине P цифр в каждой, получившиеся числа последовательно по очереди складывать и вычитать. Если результат делится на В, то и число А делится на В.

Цифры делимого А (начиная с первой слева) последовательно умножить на цифры периода D₁. D_P делителя В (начиная с любой слева направо, цифры циклически повторять, сколько необходимо), а результаты сложить. Если сумма делится на В, то А делится на В.

Итак, мы рассмотрели несколько универсальных правил определения делимости чисел. Стоит отметить, что частные случаи приведённых правил использовались ранее для определения делимости некоторых чисел. В статье же представлены универсальные системы и формулы, которые позволяют применить эти правила для всех чисел, оканчивающихся на 1, 3, 7, 9.

Разложение чисел на простые множители

Онлайн-калькулятор «Разложение числа на простые множители» позволит вам разложить любое составное число на простые множители. Для этого вам нужно ввести число в поле и нажать кнопку «Вычислить». Особенностью данного калькулятора является то, что он не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение. С помощью нашего калькулятора Вы сможете быстро получить результат, а подробное решение поможет вам разобраться, как был произведен расчет.

Простое число – это число, которые имеют только два делителя (единица и само это число), т.е. делится без остатка только на единицу и на само себя. Принято считать, что единица (1) не является простым числом. Пример простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечное множество, ниже в таблице представлены простые числа до 1000.

Признак делимости на составное число

Признаки делимости

Как определить делится ли число на 4 : две последние цифры в числе должны делиться на 4 ( 00 принимается за 100 ). Пример: 87524 делится на 4 , так как последние цифры 24 делятся 4; 6500 делится на 4 , так как последние цифры – 00 , а 100 делится на 4; 59431 не делится на 4 , так как 31 не делится на 4 без остатка.

Как определить делится ли число на 6 : число должно делится одновременно на 2 и на 3 , согласно вышеописанным признакам. Пример: 81 не делится на 6 , так как оно делится на 3 , но не делится на 2; 100 не делится на 6 , так как оно делится на 2 , но не делится на 3; 72 делится на 6 , так как оно делится и на 2 , и на 3 .

Умножение. Любой ряд таблицы можно умножить на любой другой. Результатом при этом будет ряд, номер которого вычисляется как произведение номеров умножаемых рядов, делённое с остатком на исследуемое число. То есть если мы умножим ряд 2 из таблицы для 7 на ряд 3, то получим ряд 6. А если умножим ряд ряд 4 на ряд 6, то получим 24 mod 7 = 3, то есть третий ряд. А само свойство деления по модулю (то есть с остатком) делает ненужными все системы счисления, больше изучаемого числа. Так нам не нужна система счисления с основанием 24, поскольку значения остатков в ней будут точно такими же, как и в системе с основанием 3. В какой бы системе счисления мы не вычисляли остатки от деления 1/7, мы всегда получим результат, который уже есть в таблице. Занимательно? И это лишь начало.

Из факта обнаружения бесконечного количества девяток следует занимательный вывод — если делитель единицы является простым числом, большим чем 3, то получившийся период всегда делится на 9, ну и разумеется на 3, а так же при его длине более одного знака — на 11, а при ещё большем количестве знаков — на 13, 37, 101 и так далее. И это всё независимо от делителя единицы, лишь бы он был простым и больше тройки. Можете сами проверить, например, поделите период 1/7, равный 142857 на 3, 9, 11, 13, 37.

Любителям головоломок известны так называемые «магические квадраты». Это таблицы, в которых нужно расположить числа таким образом, что бы суммы по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям были бы одинаковыми. Много людей долго и упорно ломали голову над укладыванием чисел в прокрустово ложе ограничений по суммам, и даже сумели заполнить довольно большие квадраты. Но сегодня мы познакомились с гораздо более мощной магией. Да, таблица Мендеелева для теории чисел содержит в себе на много больше ограничений, а заполнить её может даже первокласник, который научится делить «уголком». Вдумайтесь — умнейшие люди заполняли магические квадраты, но так и не нашли ни общего метода заполнения, ни продвинулись в размерах даже до жалкой сотни столбцов. А первокласник вполне справится хоть с миллиардом, лишь бы у него было в наличии достаточное время. Вот такая галактика, набитая звёздами под завязку, ждёт нас в числовых квадратах.

Но что означают все эти строки? Каждая строка показывает нам последовательность остатков при делении единицы на число семь в той системе счисления, которая подписана в крайнем левом столбце. То есть при делении 1/7 в системе с основанием 0 имеем начальный остаток 1 (та единица, которую делим). Далее, как мы это всегда делали при делении уголком, домножаем первый остаток на основание системы счисления. Получаем ноль. Теперь ноль является текущим остатком. Обычно при вычислении частного после получения остатка, равного нулю, и при отсутствии в делимом числе дополнительных цифр, деление прекращают (поскольку результат получен). Но в нашем случае мы заполняем таблицу, которая не терпит пустоты, а кроме нетерпения она обладает дополнительными свойствами, которые так же требуют наличия каких-либо чисел во всех клетках. Поэтому мы продолжаем деление и делим остаток 0 на 7. Обычно, пока остаток меньше делителя, его домножают на основание системы счисления, но домножать на ноль много раз — бесполезно, поэтому просто запишем, что после домножения на ноль остаток опять стал равен нулю, и теперь занесём его в таблицу в следующую клетку. Потом повторим процедуру. И так заполним нулями все клетки в первой строке. А потом заполним вторую строку. Но она уже имеет другое основание системы счисления — единицу. После деления 1 на 7 мы имеем первый остаток — единицу. Потом домножаем на основание системы счисления, то есть на единицу. Получаем опять 1. Пишем в соотвествующую клетку. Снова домножаем на 1, снова получаем 1, снова пишем. И так до заполнения второй строки. А вот после этих двух замечательных во всех отношениях строк, мы наконец доходим до более осмысленного деления — в двоичной системе (а смысл первых двух систем станет ясен позже). Сначала у нас есть всё та же единица. Запишем единицу в третью строку. Затем умножаем на основание системы счисления (на 2). Получаем 2. 2 меньше семёрки, вычесть пока не можем, поэтому запишем остаток 2 в таблицу. Снова умножаем на 2, получаем 4, которая опять меньше 7, значит опять без изменений идёт в таблицу. А вот на следующем шаге получаем 8, которая больше 7, значит надо вычитать. Результат — 1. Пишем в таблицу. Но ранее у нас уже была единица, поэтому все остальные шаги будут теми же самыми — так мы допишем третью строку до конца. И точно так же допишем остальные строки, но не забывая, что домножать нужно уже на другое основание системы счисления.

Как было замечено, в данной таблице содержится полная информация о простом числе 7. Но из этой информации мы можем вывести гипотезы относительно всех простых чисел. И даже некоторые из таких гипотез уже доказаны до нас, так что нам лишь остаётся проверить чужие выводы. Доказательства давали такие известные люди, как, например, Ферма и Эйлер. Ферма дал нам такую формулу \pmod p = 1$» /> (здесь операция mod берёт остаток от деления значения слева на значение справа, в программировании она обычно обозначается значком %), то есть остаток от деления $» /> на p всегда равен единице для всех простых чисел (именно простых, это важно). Но число 7 тоже простое. А каждый остаток в каждой строке можно посчитать по такой формуле: . Здесь b — основание системы счисления (от английского base), i — номер позиции в строке (от английского index), начиная с нуля для первой позиции, N — исследуемое число (в данном случае — 7), r — остаток (от английского reminder), образующийся на i-ом шаге деления уголком и содержащийся в i-ом столбце таблицы. Сравним формулу Ферма и формулу для вычисления заданного индексом i остатка. Они идентичны для последнего члена всех последовательностей остатков. И в полном соответствии с формулой Ферма, для каждого остатка в позиции имеем равенство единице. То есть наблюдаемая невооружённым глазом закономерность в виде столбца из единиц подтверждена и доказана ещё во времена Ферма (хотя Ферма не баловал нас доказательствами, но обычно все его утверждения были верными). Эйлер добавил к формуле Ферма возможность использовать её не только для простых чисел, но и для составных чисел. Правда при этом нужно знать все делители числа, но для малых чисел это не проблема. Так во второй таблице (ниже) мы видим последовательности остатков для числа 21, которое является составным. Эйлер доказал, что остаток от деления произвольного числа в степени, равной количеству чисел, меньших и не имеющих общих делителей с N, так же равен единице. И именно этот факт мы и наблюдаем в таблице для числа 21, для которого из 20 меньших чисел 8 имеют общий с 21 делитель, а 12 — не имеют. Поэтому мы и наблюдаем в 12-м столбце (при индексации с нуля) много единиц. И единицы эти не в конце строк, потому что часть чисел, которые меньше 21, имеют с 21 общие делители. А вот для простых чисел ни одно меньшее число не имеет с ними общих делителей, поэтому количество чисел без общих делителей у простых всегда больше, чем у составных. И потому единичные остатки в таблице у простых — дальше, чем у составных. Но обратите внимание — не все значения в 12-м столбце таблицы для 21 равны единице. Неужели Эйлер ошибся? Нет, просто он не предполагал использовать свою формулу для работы с числами, которые можно сократить, и как раз в строках, которые кратны 3 и 7 (делители числа 21) мы имеем расхождение с формулой Эйлера. В целом получается, что Ферма с Эйлером дали нам годные формулы, полезные для понимания проблем делимости чисел, а приведённые таблицы во всей красе подтверждают результаты Эйлера и Ферма.

Этот признак делимости схож с признаком делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например: 3987 и 144 делятся на 9, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:9=3 — делится без остака на 9), а во втором 1+4+4=9 (9:9=1 — тоже делится без остака на 9).
А вот числа: 235 и 141 на 9 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 1+4+1=6 (а мы знаем, что ни 10 ни 6 не делятся на 9 без остатка).

Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000, у второго 88:8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.

Число 12 является составным. Его признаком делимости является соответствие признакам делимости на 3 и на 4 одновременно.
Например 300 и 636 соответствуют и признакам делимости на 4 (последние 2 цифры это нули или делятся на 4) и признакам делимости на 3 (сумма цифр и первого и втророго числа делятся на 3), а занчит, они делятся на 12 без остатка.
А вот 200 или 630 не делятся на 12, потому что в первом случае число отвечает лишь признаку делимости на 4, а во втором — лишь признаку делимости на 3. но не обоим признакам одновременно.

Перед нами составное число 6, которое является произведением чисел 2 и 3. Поэтому признак делимости на 6 тоже является составным: для того, чтобы число делилось на 6, оно должно соответствовать двум признакам делимости одновременно: признаку делимости на 2 и признаку делимости на 3. При этом обратите внимание, что такое составное число как 4 имеет индивидуальный признак делимости, ведь оно является призведением числа 2 на само себя. Но вернемся к признаку делимости на 6.
Числа 138 и 474 чётные и отвечают признакам делимости на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), а значит они делятся на 6. Зато 123 и 447 хоть и делятся на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но они нечётные, а значит не соответсвуют признаку делимости на 2, а следовательно и не соответсвуют признаку делимости на 6.

Данные признаки делимости я объединил потому, что их можно описать одинаково: число делится на разрядную единицу, если количество нулей на конце числа больше или равно количеству нулей у заданной разрядной единицы.
Другими словами, например, мы имеем такие числа: 654, 46400, 867000, 645. из них все делятся на 1; 46400 и 867000 делятся еще и на 100; и лишь одно из них — 867000 делится на 1000.
Любые числа, у которых количество нулей на конце меньше чем у разрядной единицы, не делятся на эту разрядную единицу, например 60030 и 793 не делятся 100.

Признаки делимости на 15: как найти, примеры и задачи с решением

Итак, нам нужно узнать, можно ли разделить данное число на 15. Для этого рассмотрим его подробнее. Число 15 можно представить, как произведение 3 и 5. Значит, чтобы число делилось на 15, оно должно быть кратно одновременно 3 и 5. Это и есть признак делимости на 15. В дальнейшем мы рассмотрим его подробнее и сформулируем точнее.

Итак, теперь мы можем полноценно сформулировать признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда сумма его цифр кратна 3, а последней цифрой является или 5, или 0. Важно отметить, что оба этих условия должны выполняться одновременно. Иначе мы получим число кратное не 15, а только 3 или 5.

Зачастую при решении задач нужно узнать, делится ли то или иное число на заданную цифру без остатка. Но каждый раз делить его очень долго. К тому же велика вероятность допустить ошибку в расчетах и уйти от правильного ответа. Для того чтобы избежать этой проблемы, были найдены признаки делимости на основные простые или однозначные числа: 2, 3, 9, 11. Но что делать, если нужно произвести деление на другую, большую цифру? Например, как рассчитать признак делимости на 15? Ответ на этот вопрос мы постараемся найти в данной статье.

Признак делимости чисел на 15 очень часто нужен для решения контрольных и экзаменационных заданий. Например, зачастую в базовом уровне ЕГЭ по математике встречаются задачи, основанные на понимании именно этой темы. Рассмотрим некоторые их решения на практике.

Если число не является простым, то его можно разложить на множители. Например, 33 – это произведение 3 и 11, а 45 – 9 и 5. Существует свойство, согласно которому число делится на данное без остатка в случае, если его можно разделить и на тот, и на другой множитель. Это значит, что любое большое число можно представить в виде простых, и уже исходя из них, формулировать признак делимости.

Признак делимости на 2: примеры, доказательство

Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a = a 1 · 10 + a 0 . Здесь a 1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a 0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49 = 4 · 10 + 9 , 28 378 = 2 837 · 10 + 8 ). Произведение a 1 · 10 , взятое из равенства a = a 1 · 10 + a 0 , всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.

В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.

Приведем примеры такого действия: 470 = 47 · 10 , где a = 470 и a 1 = 47 ; или же 38 010 · 10 , здесь a = 380 100 и a 1 = 38 010 . Второй множитель в этом произведении ( 10 ) может быть разделен на 2 , значит, все произведение может быть разделено на 2 . Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

3 · 3 k + 4 k — 1 делится на два, поскольку это возможно для 3 k + 4 k — 1 , выражение 2 · 4 k — 3 тоже можно поделить на 2 , потому что у него есть множитель 2 , значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2 , что объясняется соответствующим свойством делимости.

Сначала возьмите любое число (в данном примере это 376) и запишите последнюю цифру в номере, отбрасывая остальные цифры. Затем возьмите эту цифру (6), игнорируя остальную часть числа, и определите, делится ли оно на 2. Если оно делится на 2, то исходное число делится на 2.

Делимость на 7 можно проверить рекурсивным методом. Число в форме 10 x + y делится на 7 тогда и только тогда, когда x — 2 y делится на 7. Другими словами, вычтите дважды последнюю цифру из числа, образованного оставшимися цифрами. Продолжайте делать это до тех пор, пока не будет получено число, для которого известно, делится ли оно на 7. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, полученное с помощью этой процедуры, делится на 7. Например, число 371: 37 — (2 × 1) = 37 — 2 = 35; 3 — (2 × 5) = 3-10 = −7; таким образом, поскольку −7 делится на 7, 371 делится на 7.

Композитный делитель может также иметь правило , сформированное с использованием тех же процедур, что и для простого делителя, приведенное ниже, с той оговоркой , что манипуляции , вовлеченные не может вводить любой фактор , который присутствует в делителе. Например, нельзя составить правило для 14, которое включает умножение уравнения на 7. Это не проблема для простых делителей, потому что они не имеют меньших множителей.

Шаг B: если целое число находится в диапазоне от 1001 до одного миллиона, найдите повторяющийся образец из 1, 2 или 3 цифр, который образует 6-значное число, близкое к целому (начальные нули разрешены и могут помочь вам визуализировать образец ). Если положительная разница меньше 1000, примените шаг A. Это можно сделать, вычтя первые три цифры из последних трех цифр. Например:

Шаг C: Если целое число больше миллиона, вычтите ближайшее кратное 999 999 и затем примените шаг B. Для еще больших чисел используйте более крупные наборы, такие как 12-значные (999 999 999 999) и т. Д. Затем разбейте целое число на меньшее число, которое можно решить с помощью шага B. Например:

Сначала замените 8 на 1: 116 .
Теперь замените 1 на следующую цифру в последовательности (3), прибавьте ее ко второй цифре и запишите результат вместо обоих: 3 + 1 = 4 . Итак, 11 6 теперь становится 4 6 .
Повторите процедуру, так как число больше 7. Теперь 4 становится 5, которое нужно прибавить к 6. Это 11 .
Повторите процедуру еще раз: 1 становится 3, которое прибавляется ко второй цифре (1): 3 + 1 = 4 .

Точно так же, когда вы превращаете 3 в 2 в следующей десятичной позиции, вы превращаете 30 × 10 n в 2 × 10 n , что аналогично вычитанию 30 × 10 n −28 × 10 n , и это снова вычитание кратное 7. Для всех остальных преобразований применяется та же причина:

Правило делимости является сокращенным и полезным способом определения , является ли данное число делится на фиксированный делитель без выполнения деления, как правило , путем изучения его цифр. Несмотря на то, что существуют тесты делимости чисел с любым основанием или основанием, и все они разные, в этой статье представлены правила и примеры только для десятичных чисел или чисел с основанием 10. Мартин Гарднер объяснил и популяризировал эти правила в своей колонке «Математические игры» в сентябре 1962 года в журнале Scientific American .

Возьмем, к примеру, число 371
Замените все вхождения 7 , 8 или 9 на , 1 и 2 соответственно. В этом примере мы получаем: 301 . Этот второй шаг можно пропустить, за исключением крайней левой цифры, но его выполнение может облегчить вычисления в дальнейшем.
Теперь преобразуйте первую цифру (3) в следующую цифру в последовательности 13264513 . В нашем примере 3 становится 2 .
Добавьте результат предыдущего шага (2) ко второй цифре числа и замените результат на обе цифры, оставив все оставшиеся цифры неизменными: 2 + 0 = 2. Таким образом, 30 1 станет 2 1 .
Повторяйте процедуру до тех пор, пока не получите узнаваемое число, кратное 7, или, чтобы убедиться, что число от 0 до 6. Итак, начиная с 21 (которое является узнаваемым кратным 7), возьмите первую цифру (2) и преобразуйте ее в следующее в приведенной выше последовательности: 2 становится 6. Затем прибавьте это ко второй цифре: 6 + 1 = 7 .
Если в любой момент первая цифра — 8 или 9, они становятся 1 или 2 соответственно. Но если это 7, оно должно стать 0, только если не последуют другие цифры. В противном случае его следует просто отбросить. Это связано с тем, что 7 превратилось бы в 0, а числа, содержащие как минимум две цифры перед десятичной точкой, не начинаются с 0, что бесполезно. В соответствии с этим наша 7 становится .

Признаки делимости чисел

У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит.
Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:3=9 — делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6 (6:3=2 — тоже делится без остака на 3).
А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 5+6+6=17 (а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).

И опять перед нами довольно простой признак делимости: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Это значит, что любые числа, оканчивающиеся цифрами и 5, например 12355 и 43, подпадают под правило и делятся на 5.
А, к примеру, 15493 и 564 не оканчиваются на цифру 5 или 0, а значит они не могут делиться на 5 без остатка.

Этот признак делимости будет посложнее. Если последние 2 цифры числа образуют число, делящееся на 4 или это 00, то и число делится на 4, в противном случае данное число не делится на 4 без остатка.
Например: 100 и 364 делятся на 4, потому что в первом случае число оканчивается на 00, а во втором на 64, которое в свою очередь делится на 4 без остатка (64:4=16)
Числа 357 и 886 не делятся на 4, потому что ни 57 ни 86 на 4 не делятся, а значит не соответствуют данному признаку делимости.

Когда исходное выражение с переменной n задано в виде многочлена, то можно пробовать такой подход. Если доказать, что при n=9·m , n=9·m+1 , …, n=9·m+8 , где m – целое число, исходное выражение делится на 9 , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 9 при любом целом n .

В более сложных случаях сумма цифр данного целого числа может быть двухзначным, трехзначным и т.д. числом. Например, сумма цифр числа 945 равна 18 , а сумма цифр числа 999 888 777 666 555 равна 105 . Для установления делимости на 9 в этих случаях признак делимости на 9 приходится применять несколько раз (точнее приходится несколько раз подряд вычислять суммы цифр получающихся чисел). Рассмотрим это на примере.

Для a , отличных от нуля, модуль числа a является числом натуральным, поэтому его можно представить в виде суммы , что мы показали перед теоремой. В выражении содержится множитель 9 , а сумма в скобках является натуральным числом при любых a_n, a_n−1, …, a₁ , поэтому в силу свойств делимости указанное выражение делится на 9 .

При n=1 имеем , а 9 делится на 9 . При натуральных n , больших единицы, в полученной сумме можно вынести 9 за скобки, при этом мы придем к произведению . Это произведение делится на 9 , так как содержит множитель 9 , а значение выражения в скобках при n>1 является натуральным числом. Таким образом, делится на 9 при любом натуральном n .

Воспользуемся признаком делимости на 9 . Для этого вычислим сумму цифр данного числа: 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74 . А делится ли 74 на 9 ? Для ответа на этот вопрос вычислим сумму цифр числа 74 , имеем 7+4=11 , а сумма цифр числа 11 в свою очередь равна 1+1=2 . Так как 2 не делится на 9 , то по признаку делимости на 9 и число 11 не делится на 9 , следовательно, на 9 не делится и 74 , а значит, и исходное число.

04 Мар 2022 jurist7sib 53